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\title{微分方程数值解\ 第4次作业}
\author{李之琪 22235056}

\begin{document}
\maketitle
\section*{1.5.2}
对leap-frog方法，计算LTE如下：
\begin{eqnarray}
\begin{aligned}
\tau(x, t)=& \frac{u(x, t+k)-u(x, t-k)}{k} \\
&-\frac{1}{h}[u(x+h, t)-u(x-h, t)]\\
=&\left(2u_{t}+\frac{1}{3} k^{2} u_{t t t}+O(k^3)\right) \\
&-\left(2u_{x}+\frac{1}{3} h^{2} u_{x x x}+O(h^3)\right) \\
=&O(h^2 + k^2).
\end{aligned}
\end{eqnarray}

最后一步用到了$u_t = u_{x}$。

对Crank–Nicholson方法，计算LTE如下：
\begin{eqnarray}
\begin{aligned}
\tau(x, t)=& \frac{u(x, t+k)-u(x, t)}{k} \\
&-\frac{1}{4h}[u(x+h, t)-u(x-h, t)\\
&+u(x+h, t+k)-u(x-h, t+k) ]\\
=&\left(u_{t}+\frac{1}{2} k u_{t t}+\frac{1}{6} k^{2} u_{t t t}+O(k^3)\right) \\
&-\frac{1}{4h}\left(2hu_{x}+O(h^3)+2hu_x + 2hku_{xt} + O(h^3 + k^3)\right) \\
=&O(h^2 + k^2).
\end{aligned}
\end{eqnarray}

最后一步用到了$u_t = u_{x}$以及$u_{t t}= u_{t x}= u_{x t}$。后者更精确
是因为LTE前面的常数的绝对值更小。
\section*{1.6.3}
对backward Euler方法，计算LTE如下：
\begin{eqnarray}
\begin{aligned}
\tau(x, t)=& \frac{u(x, t+k)-u(x, t)}{k} \\
&-\frac{1}{h^{2}}[u(x-h, t+k)-2 u(x, t+k)+u(x+h, t+k)]\\
=&\left(u_{t}+\frac{1}{2} k u_{t t}+\frac{1}{6} k^{2} u_{t t t}+\cdots\right) \\
&-\left(u_{x x}+k u_{x x t}+ \frac{1}{12} h^{2} u_{x x x x}+\frac{1}{2} k^{2} u_{x x t t}+\cdots\right) \\
=&-\frac{1}{2} k u_{x x t}+\frac{1}{12} h^{2} u_{x x x
  x}+O\left(k^{2}+h^{4}\right)\\
=& O(h^2+k).
\end{aligned}
\end{eqnarray}

这里最后一步用到了$u_t =  u_{xx}$。

对Crank–Nicholson方法，计算LTE如下：
\begin{eqnarray}
\begin{aligned}
\tau(x, t)=& \frac{u(x, t+k)-u(x, t)}{k} \\
&-\frac{1}{2h^{2}}[u(x-h, t)-2 u(x, t)+u(x+h, t)\\
&+u(x-h, t+k)-2 u(x, t+k)+u(x+h, t+k) ]\\
=&\left(u_{t}+\frac{1}{2} k u_{t t}+\frac{1}{6} k^{2} u_{t t t}+\cdots\right) \\
&-\frac{1}{2}\left(u_{x x}+\frac{1}{12} h^{2} u_{x x x x}+\cdots\right) \\
&-\frac{1}{2}\left(u_{x x}+k u_{x x t}+ \frac{1}{12} h^{2} u_{x x x x}+\frac{1}{2} k^{2} u_{x x t t}+\cdots\right) \\
=&-\frac{1}{12} k^2  u_{x x t t}+\frac{1}{12} h^{2} u_{x x x
  x}+O\left(k^{3}+h^{4}\right)\\
=& O(h^2+k^2).
\end{aligned}
\end{eqnarray}

这里最后一步用到了$u_t =  u_{xx}$以及$u_{t t}= u_{x x t}=  u_{t x x}=
u_{x x x x}$。某些情况下backward Euler方法误差更小的可能原因是在这些时
刻$u_{xxt}$的绝对值要远小于$u_{xxtt}$，这两项分别出现在两种方法的主要误差
的系数中。
\section*{1.7.1}
针对方程$u_t + a u_x = \eta u_{xx}$，取$h =
\dfrac{2\pi}{N}, a = -1, \eta = 0.5$，终止时刻$T = 2\pi$，初值函数$f(x) =
\sin(x)$。当我们固定$\lambda = \dfrac{ak}{h} = -0.5$时，计算结果如下图所示。\\
\begin{figure}[!htp]   
  \centering
  \includegraphics[width=16cm]{Pictures/F1.eps}
  \caption{convection-diffusion方程，初值函数$f(x) =\sin(x)$，终
    止时刻$T = 2\pi$时的计算结果。}
  \label{fig:0}
\end{figure}\\
在$k = O(h)$的条件下，$N = 10,20$时可以得到合理的结果，但当$N = 40$时
结果溢出。出现该现象的原因是稳定性条件$2\eta \le h^2/k$不再满足。

上述结果可以通过运行\texttt{convection\_diffusion\_err1.m}文件得到。
\newpage
当我们固定$\alpha = \dfrac{2\eta k}{h^2} = 0.5$时，计算结果如下图所示。\\
\begin{figure}[!htp]   
  \centering
  \includegraphics[width=16cm]{Pictures/F2.eps}
  \caption{convection-diffusion方程，初值函数$f(x) =\sin(x)$，终
    止时刻$T = 2\pi$时的计算结果。}
  \label{fig:0}
\end{figure}\\
在$k = O(h^2)$的条件下，$N = 10,20,40,80$时都可以得到较好的结果。这是
因为稳定性条件$2\eta \le h^2/k$始终被满足。

上述结果可以通过运行\texttt{convection\_diffusion\_err2.m}文件得到。

\end{document}

